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On entend souvent les élèves parler, quand ils résolvent des équations, de nombres qui changent de signe quand ils changent de côté. Cela montre une incompréhension de ce qu’est une résolution d’une équation, et plus généralement, du travail sur les égalités.
En fait, du moins en collège et bien souvent en lycée, on résout une équation en écrivant suite d’équations équivalentes jusqu’à une équation triviale.
Par exemple, pour le cas des équations homographiques, abordées dès le collège, voici ce qu’on fait :
On a oublié de signaler que x ne devait pas être nul, autrement dit que le domaine de définition de l’équation est ℝ*. Je signale ce point oralement, en précisant qu’ultérieurement, on leur demandera ce genre de précision.
La première transformation est l’égalité des produits en croix des fractions égales.
La deuxième est une distributivité simple, qui n’est pas spécifique au travail sur les égalités.
La troisième est une soustraction de 3x des deux côtés de l’égalité.
La dernière est une division par 2 de chaque côté.
À aucun moment, des nombres ou des expressions algébriques ont changé de côté. On a juste appliqué des opérations élémentaires sur les équations.
Les premières opérations élémentaires montrées en collège, sont les quatre opérations plus les produits en croix. Le travail strictement algébrique (distributivité) ou numérique est bien sûr aussi possible.
Les opérations élémentaires sont ce qu’Euclide appelle des notions communes (en français et en anglais). Autrement dit, on peut ajouter ou soustraire le même nombre ou la même expresion algébrique des deux côtés d’une égalité, de même, on peut multiplier ou diviser par un même nombre ou expression non nul. On impose que le terme multiplié soit non nul, sinon on obtient 0=0 et on perd toute l’information ; on l’impose pour le terme divisé parce qu’on ne sait pas diviser par 0.
Ce qui donne les théorèmes suivants (avec c≠0 dans les deux derniers) :
Les deux premiers sont réciproques l’un de l’autre, et les deux derniers aussi.
En fait, on a appliqué des fonctions bijectives, dans l’ordre : x↦x+c, x↦x−c, x↦x×c et , ce qui veut dire que la transformation de l’équation ne change pas l’ensemble de ses solutions.
En fait, on peut appliquer d’autres fonctions bijectives, à condition de faire attention à bien délimiter les domaines d’application.
Par exemple, on peut appliquer la fonction carré, à condition d’avoir vérifié le signe du terme dont on prend le carré, et de même on peut appliquer la fonction racine carrée. On peut aussi appliquer une fonction puissance, une exponentielle ou un logarithme en ayant pris garde de vérifier les signes, parce que le logarithme n’est pas défini sur ℝ−.
On peut aussi appliquer les fonctions précédentes, à condition de faire attention à une chose supplémentaire : est-ce que la fonction est décroissante ou non.
Ceci ne se voit pas quand on applique les deux premières fonctions x↦x+c et x↦x−c, en effet :
Ajouter ou retrancher un même nombre à a et b ne change pas leur ordre de rangement.
Les élèves ne voient pas qu’on a ici affaire à deux fonctions croissantes, alors que les deux autres peuvent ne plus l’être si c est négatif.
Il faut donc dédoubler de la manière suivante les théorèmes :
Autrement dit, multiplier ou diviser par un nombre positif ne change pas l’ordre, multiplier ou diviser par un nombre négatif change l’ordre.
En fait, si c>0, nos deux dernières fonctions sont croissantes, donc conservent l’ordre, mais si c<0, elles sont décroissantes, donc inversent l’ordre.