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Quand on est un peu habitué à voir l’espace à trois dimensions et à raisonner dans ce cadre à partir de l’intuition, on peut faire quelques erreurs. Ainsi, s’il est vrai que , la réciproque est fausse, et si on choisit les bons contre-exemples c’est trivial.
En effet, il suffit par exemple de choisir une boule et un plan tangent, auquels on a enlevé exprès le point de contact. La distance étant le minimum des distances entre un point de la boule et un point du plan, elle est donc nulle (je peux la rendre aussi petite que je veux). Sauf que le point de contact, le seul point qui serait susceptible de réaliser la distance, est absent.
Dans le même ordre d’idées, une distance non nulle n’est pas forcément atteint par des points des ensembles, il suffit de prendre la même boule et le même plan, mais déplacés perpendiculairement au plan.
En fait, ce qui pose problème est que ni le plan ni la boule (sans le point ôté) ne sont des fermés. Il existe un théorème qui exprime quelque chose de voisin :
Soit C un convexe fermé non vide d’un espace euclidien de dimension finie (attention au cas de la dimension infinie), et , il existe un unique point qui réalise la distance d(y0,C), ce point est dit projeté de x0 sur C.
On a de plus , c’est-à-dire que l’angle est obtus.
C est convexe, sinon un contre-exemple est C une demi-sphère et x0 son centre. Dans ce cas il y a beaucoup de points équidistants de x0 : les points de la demi-sphère. C est fermé, sinon on retombe sur le contre-exemple commençant cette page comme avec une boule ouverte (sans sa frontière).
Source : Éléments d’analyse, Jean Dieudonné, Gauthiers-Villars, Paris, 1972.