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On pourrait penser que la dérivation d’une fonction continue partout rend la dérivée aussi continue. Il n’en est rien.
Il suffit de prendre l’exemple classique de la fonction .
Elle est définie, continue et dérivable trivialement sur et sur , elle y est même de classe C∞.
En revanche, on se doute d’un petit problème en 0, à cause de l’inverse dans le sinus.
Il est clair que la limite de f en 0 vaut 0, puisque le sinus reste borné entre −1 et 1, et que x2 tend vers 0 quand x tend vers 0. Prolongeons-la dorénavant en 0, puisque sa limite vaut 0 en 0. En clair, f(0)=0, cherchons si f′(0) existe et si f′ est continue en 0.
Calculons sa dérivée en x≠0 :
Le premier terme tend vers 0 si x tend vers 0, mais le deuxième n’a pas de limite si x tend vers 0 car le cosinus oscille constamment entre −1 et 1 au voisinage de 0. Autrement dit, f′ n’a pas de limite en 0.
Calculons sa dérivée en 0 par la formule classique.
f′ est ainsi définie sur ℝ tout entier, mais n’est pas continue. Même si la dérivée n’est pas continue en 0, elle y est quand même définie et y vaut 0.
Voici le graphique de f avec les deux paraboles au-dessus et en-dessous, puis une vue d’ensemble avec sa dérivée, plus le fichier kmplot :