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La première fois qu’on commence à utiliser les nombres complexes, on a tendance à reproduire les mêmes habitudes qu’avec les réels.
Ainsi, on a tendance à essayer de les ranger, alors qu’il n’y a pas d’ordre compatible avec l’addition des complexes. Comment ranger les points du plan de manière univoque ?
Une autre erreur, plus subtile, est de vouloir conserver toutes les opérations habituelles, alors que quelques mises en garde existaient déjà avec les réels.
Autant les quatre opérations ne posent pas plus de problème que chez les réels, autant la racine carrée et les racines n-ièmes en posent.
D’ailleurs, le cas qui va nous intéresser ici a suscité des débats au XVIIIe siècle.
Cela vaut évidemment puisque −2×−3=6. Les ennuis arrivent quand on veut appliquer les règles de calcul habituelles sur les racines.
Ainsi , mais la notation voire même pose déjà problème. En effet, un nombre complexe a deux racines carrées et non pas une seule.
Par exemple, en utilisant la notation i pour une des deux racines de −1 :
En raison de son ambiguïté, nous allons dorénavant limiter la notation racine carrée aux réels positifs, et à sa racine positive.
Il devient alors difficile de dire ce que vaut le produit , puisque de plus, on serait tenté d’écrire que cela vaut 2i×3i=−6 au lieu de 6.
Conclusion, la règle ne vaut que si a et b sont positifs.
En fait, on peut faire déborder un peu le problème aux racines n-ièmes de a, c’est-à-dire aux solutions de l’équation xn=a.
On peut écrire un nombre complexe a comme la somme de deux composantes réelles, a=ax+i.ay et faire de même pour x=xx+i.xy.
On développe alors , et on identifie, ce qui est tout de suite pénible voire bestial.
Il est beaucoup plus simple d’écrire a sous la forme polaire, en utilisant l’exponentielle complexe.
a=ρeiθ et x=σeiη
Notre équation devient donc soit σn=ρ et ηn=θ, c’est-à-dire et .
C’est tout de même plus simple.