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La relation de distinction des sous-groupes d’un groupe n’est pas transitive comme la relation d’ordre sur ℝ. Nous allons prendre comme exemple le groupe diédral D4 à 8 éléments, le groupe des isométries qui conservent globalement le carré.
Un sous-groupe H est distingué dans G s’il est stable par tout automorphisme intérieur, autrement dit si pour tout h de H et tout g de G, on a g∘h∘g−1 dans H, autrement dit H∘G=G∘H. On le note H ⊲ G.
Remarquons tout d’abord que D4 est un sous-groupe de , le groupe des permutations d’ordre 4, à 4!=24 éléments. Pour un carré ABCD, nommons r la rotation qui envoie A en D, etc., s1 échange A et C, s2 échange B et D, s3 échange A et B, C et D et s4 échange A et D, B et C.
Ce qu’on peut résumer en utilisant ainsi les notations des permutations :
Id | () |
---|---|
r | (BCDA) |
r2 | (CDAB) |
r3 | (DABC) |
s1 | (AC) |
s2 | (BD) |
s3 | (AB)(CD) |
s4 | (AD)(BC) |
En effet, r envoie A à la place de D, donc on met A à la place de D. Les autres permutations ne conservent pas les distances, par exemple (AB) transforme la longueur AD en .
Il suffit de regarder le carré pour compléter. On applique de bas en haut. Par exemple, appliquer r puis s1 donne s4, ce qu’on note s1∘r=s4 (hé oui, à l’envers).
∘ | Id | r | r2 | r3 | s1 | s2 | s3 | s4 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Id | Id | r | r2 | r3 | s1 | s2 | s3 | s4 |
r | r | r2 | r3 | Id | s4 | s3 | s1 | s2 |
r2 | r2 | r3 | Id | r | s2 | s1 | s4 | s3 |
r3 | r3 | Id | r | r2 | s3 | s4 | s2 | s1 |
s1 | s1 | s3 | s2 | s4 | Id | r2 | r | r3 |
s2 | s2 | s4 | s1 | s3 | r2 | Id | r3 | r |
s3 | s3 | s2 | s4 | s1 | r3 | r | Id | r2 |
s4 | s4 | s1 | s3 | s2 | r | r3 | r2 | Id |
On observe que est un sous-groupe de D4, comme .
Comme toute rotation est décomposable en un produit de deux symétries, et réciproquement, tout produit de deux symétries est une rotation, s−1∘r∘s sera le produit de quatre symétries donc de deux rotations, donc c’est une rotation. Donc H1 est distingué dans D4. H1 est isomorphe à , les deux sont commutatifs donc tout sous-groupe est distingué, en particulier H2, dans H1 attention.
Vérifions si H2 est distingué dans D4. On a s1∘r2∘s1=s1∘s2∘s1∘s1=s1∘s2=r2. Perdu, d’autant plus qu’il suffit de regarder la table pour constater que le centre de D4 est H2, donc qu’il est distingué dans D4.
Essayons alors et .
Montrons que quel que soit s dans H3, quel que soit t dans D4, t∘s∘t−1 est dans H3. Nous ne considérons que les cas où t n’est pas dans H3, sinon c’est trivial.
Donc dans tous les cas, t∘s∘t−1 est dans H3.
Il y a plus simple : H3 (d’ordre 4) est distingué dans D4 (d’ordre 8) puisqu’un sous-groupe d’ordre p dans un groupe d’ordre 2p est nécessairement distingué. C’est facile à démontrer.
H3 est le groupe de Klein, isomorphe à et commutatif. Donc H4 est distingué dans H3.
En revanche, H4 n’est pas distingué dans D4 puisqu’on vient de voir que s1∘s3∘s1=s4∉H4.
Notons que et font aussi l’affaire.
Merci à Alain Debreil.
Conclusion : H ⊲ H′ ⊲ G ↛ H ⊲ G