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Pour trouver rapidement les inverses dans , j’ai utilisé ce programme pour Ti86.
1⩽2 | 1⩽3 | 1⩽4 |
2⩽3 | ||
3⩽4 |
Donc F4 :
1⩽2 | 1⩽3 | 1⩽4 | 1⩽5 |
2⩽3 | 2⩽5 | ||
3⩽4 | 3⩽5 | ||
4⩽5 |
Donc F5 :
1⩽2 | 1⩽3 | 1⩽4 | 1⩽5 | 1⩽6 |
2⩽3 | 2⩽5 | |||
3⩽4 | 3⩽5 | |||
4⩽5 | ||||
5⩽6 |
Donc F6 :
1⩽2 | 1⩽3 | 1⩽4 | 1⩽5 | 1⩽6 | 1⩽7 |
2⩽3 | 2⩽5 | 2⩽7 | |||
3⩽4 | 3⩽5 | 3⩽7 | |||
4⩽5 | 4⩽7 | ||||
5⩽6 | 5⩽7 | ||||
6⩽7 |
Donc F7 :
Si , pq′<p′q donc pq′+pq<p′q+pq, c’est-à-dire p(q+q′)<q(p+p′), et .
De même à droite, pq′+p′q′<p′q+p′q′, (p+p′)q′<(q+q′)p′, et .
Donc , donc soit p+p′>n, soit q+q′>n, soit (p+p′)∧(q+q′)≠1.
Si q+q′⩽n, , impossible.
Si q=q′, p+1⩽p′<q et car pq<(p+1)(q−1)=pq+q−p−1 et q>p+1.
Donc , impossible.
p∧q=1 donc ∃r,s∈ℤ tel que nq−sp=1. Or s est défini à kq près, on peut donc trouver s∈]n−q;n].
On a b=brq−bqs+saq−saq=(rb−sa)q+(qa−pb)s, or , qa−pb>0 et rb−as>0, ce sont des entiers donc b⩾q+s>n et b>n, impossible.
, 25p1−13q1=1, p1=12+13n1 et q1=23+25n1, avec 100−25<q1⩽100, q1=98, n1=3 et p1=51.
, 98p2−51q2=1, p2=38+51n2 et q2=73+98n2, avec 100−98<q2⩽100, q2=73, n2=0 et p2=38.
, 73p3−38q3=1, p3=25+38n3 et q3=48+73n3, avec 100−73<q3⩽100, q3=48, n3=0 et p3=25.
q+q′=(p′q″−q′p″)q+(qp″−pq″)q′=p′q″q−q′p″q+qp″q′−pq″q′=q″(p′q−pq′).
p+p′=(p′q″−q′p″)p+(qp″−pq″)p′=p′q″p−q′p″p+qp″p′−pq″p′=p″(p′q−pq′).
Donc .