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5×4=9 [b], 20=9 [b] donc 11=0 [b], soit b=11.
(2×11+5)×(x×11+4)=8×121+y×11+9, 27×(11x+4)=968+9+11y, 297x+108=977+11y soit 27x=79+y et x=3, y=2.
en base 11, c’est-à-dire 27×37=999.
Si on change le 9 dans une base b′, 5×4=z [b′] donc (2b′+5)(3b′+4)=8b′2+2b′+z, soit 6b′2+15b+8b+20=8b′2+2b+z.
2b′2−21b′−20+z=0. Son discriminant est Δ=441−8(z−20)=801−8z.
Δ est un carré si z=9, Δ=232 et b=11. On vient de le trouver.
Ou alors si z=20, Δ=212 et b=10,5. Impossible.
Ou alors si z=30, Δ=192 et b=10. Impossible.
Ensuite b est plus petit que z.