Page sur le Rubik’s cube à l’oral de l’agrégation

Quelques leçons peuvent faire intervenir ce jeu qui cache beaucoup de petits groupes classiques :

• 101, Groupe opérant sur un ensemble.
• 104, Groupes finis. Exemples et applications.
• 105, Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
• 108, Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Selon la leçon, il faut bien sûr adapter un peu le contenu. J’ai, à la rédaction de cette page, préparé et proposé les leçons 105 et 108, en voici le résultat mais non trié par leçons puisque certains matériaux sont utilisables plusieurs fois. Je reprends et développe ce qui est dans cette page.

Structure du groupe agissant sur le Rubik’s cube

Le groupe 𝔊 du Rubik’s cube est isomorphe à un sous-groupe d’indice 12 de $\mathrm{𝔊\prime }=\left({\left(\frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\right)}^{12}⋊{𝔖}_{12}\right)\times \left({\left(\frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}\right)}^8⋊{𝔖}_8\right)$ [J p. 180]. Chaque produit semi-direct est en fait isomorphe à un ensemble de matrices monomiales, qui sont des matrices de permutations mais dont les coefficients non nuls sont dans ${\left(\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}\right)}^{*}$ au lieu de valoir 1. 𝔊 agit donc sur deux ensembles de matrices monomiales, mais avec quelques conditions supplémentaires.

La première paire de parenthèses concerne les arêtes (il y en a 12), la deuxième concerne les coins (il y en a 8). Chaque $\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$ illustre les orientations des petits cubes et chaque 𝔖_n illustre les positions des petits cubes.

𝔊′ est en fait le groupe obtenu si on démonte le Rubik’s cube pour le remonter au hasard. Dans ce cas, on a une chance sur douze de pouvoir le résoudre sans être obligé de le redémonter, c’est ce qu’indique le fait que [𝔊′:𝔊]=12.

Nommons $\left(\overrightarrow{u}\sigma \overrightarrow{v}\tau \right)$ un quadruplet de 𝔊′ ordonné comme l’indique la définition de 𝔊′, un élément de 𝔊 écrit sous cette forme doit vérifier trois conditions, vraies pour les six mouvements élémentaires [J p. 182] :

1. La somme des coordonnées de $\overrightarrow{u}$ est nulle modulo 2, ce qui veut dire que si 11 arêtes sont orientées correctement, la dernière aussi.
2. La somme des coordonnées de $\overrightarrow{v}$ est nulle modulo 3, ce qui veut dire que si 7 coins sont orientés correctement, le dernier aussi.
3. Le produit des signatures de σ et de τ vaut 1, ce qui veut dire qu’un mouvement σ qui ne déplace que les arêtes doit être dans 𝔄₁₂, qu’un mouvement τ qui ne déplace que des coins doit être dans 𝔄₈ et que si σ est une transposition, τ doit aussi être impair.

On retrouve ainsi la structure annoncée dans la page sur les bases théoriques.

Générateurs du groupe

𝔊 est engendré bien évidemment par les six mouvements D, G, H, B, A et P mais aussi par seulement cinq d’entre eux puisque le mouvement suivant vaut H [WH p. 142].

On ne peut pas faire mieux dans ce genre puisque, si on veut engendrer H et D à partir des autres, le cube HD ne bouge pas, si on veut engendrer H et B à partir des autres, les cubes du haut et du bas ne pourront pas changer d’orientation sans changer de place.

Les deux mouvements suivants engendrent 𝔊 [WH p. 144] : G2PDB-G- et HADHD-H-A-, mais c’est plus délicat à justifier.

Il est clair que toute méthode de résolution engendre 𝔊, à quelques conjugaisons près, notamment celle présentée sur ce coin de site.

Voici cependant trois mouvements qui, non seulement engendrent 𝔊 à conjugaison près, mais illustrent chacune des trois restrictions ci-dessus [respectivement DDT p. 50, DDT p. 32 et H p. 67].

Noter que seul le dernier modifie aussi l’orientation des faces, ici la face H, dans le sens H-.

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