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Avant de résoudre le Rubik’s cube, un peu de théorie des groupes et de notations spécifiques. J’utilise la notation française de André Deledicq, Jean-Christophe Deledicq et Jean-Baptiste Touchard de leur brochure.
Les six mouvements élémentaires sont tous orientés dans le sens des aiguilles d’une montre. D pour droite, G pour gauche, A pour avant, P pour postérieur, H pour haut et B pour bas. Non, pas de mauvaise foi, ce n’est pas D pour droite, D pour dessus, D pour dessous, D pour devant, D pour derrière et D pour l’autre droite.
Pour un mouvement dans l’autre sens, on ajoute - derrière. Pour un mouvement doublé, on ajoute un 2 derrière.
Pour regrouper pour tripler ou inverser une suite de mouvements, il suffit de l’écrire entre parenthèses suivie de 3 ou de -.
Pour bouger une tranche centrale, on utilise A~s (qui n’est pas dans l’applet pour le moment), ce qui la fait tourner dans le même sens que A, et pour bouger une tranche c’est As.
Il est clair que les mouvements du cube génèrent un groupe fini (les positions du cube sont finies). En gros, le groupe est isomorphe au sous-groupe de pour lequel les signatures dans 𝔖12 et 𝔖8 sont égales. Le premier produit concerne les arêtes, le dernier les coins. Chaque mouvement lie les deux, d’où la restriction.
La conjugaison de A par H est notée et vaut HAH-. Le commutateur AHA-H- est noté [AH]. Ces deux notations ne sont pas encore dans l’applet.
HAH- est du même ordre que A, donc d’ordre 4, un commutateur, en revanche, est d’ordre 6.
L’intérêt de la conjugaison est de déplacer pour replacer ensuite. Si vous savez tourner deux coins consécutifs, vous savez en tourner deux n’importe où sur le cube en conjuguant. Ici, je conjugue par P- puis par P2, ce qui permet de faire tourner deux coins opposés de la même face, puis deux diamétralement opposés.
Cela permet une économie de formules à apprendre.
Pour inverser un mouvement, il suffit de le prendre à rebours en inversant systématiquement les mouvements. Ainsi, (AH-)-=H--A-=HA-.
Le cube admet des plans de symétrie, six passant par les sommets et trois ne passant pas par les sommets. Il suffit de connaître un algorithme et de savoir comment trouver son symétrique adéquat pour économiser encore votre mémoire. Malgré son intérêt, le livre Résoudre les cubes ne s’embarasse pas de ce genre de considérations et propose brutalement une palanquée d’algorithmes à apprendre, sans une once de recul. Pire, il utilise sans arrêt un mauvais franglais, même les mouvements ne sont pas traduits.
Regardez par exemple les deux premiers algorithmes de l’étape de la deuxième couronne : ils sont symétriques par rapport au plan vertical reliant les arêtes avant droite et arrière gauche ; en fait le plan perpendiculaire à votre écran, vu comment le cube se présente.
Le tableau suivant indique comment réécrire un algorithme (et ses mouvements) en fonction de la symétrie. Les six premières symétries seront nommées par les deux arêtes les plus éloignées qu’elles échangent, les trois dernières par les deux faces qu’elles échangent. Par exemple H-B est la symétrie verticale alors que AD-PG est la symétrie de plan parallèle à l’écran.
Symétrie | D | G | A | P | H | B |
---|---|---|---|---|---|---|
D-G | G- | D- | A- | P- | H- | B- |
A-P | D- | G- | P- | A- | H- | B- |
H-B | D- | G- | A- | P- | B- | H- |
DA-GP | A- | P- | D- | G- | H- | B- |
DP-AG | P- | A- | G- | D- | H- | B- |
DH-GB | H- | B- | A- | P- | D- | G- |
DB-GH | B- | H- | A- | P- | G- | D- |
AH-PB | D- | G- | H- | B- | A- | P- |
AB-PH | D- | G- | B- | H- | P- | A- |
Ainsi, la symétrie D-G transforme le mouvement D en le mouvement G-. Remarquez que les symétries axiales transforment systématiquement un mouvement positif en un mouvement négatif. En effet, le déterminant d’une telle symétrie vaut −1, il échange la main droite et la main gauche, autrement dit l’orientation des bases orthonormées de l’espace.
On ne va pas étudier ce que font les rotations sur les mouvements, c’est-à-dire ce que devient le mouvement B quand on tourne le cube selon son axe D-G, mais l’inverse : si un algorithme contient des rotations du cube, comment le réécrire pour ne plus en avoir. Les rotations sont nommées naturellement, D est celle qui fait tourner le cube comme le mouvement D fait tourner la face droite.
Rotation | D | G | A | P | H | B |
---|---|---|---|---|---|---|
D | D | G | B | H | A | P |
G | D | G | H | B | P | A |
A | B | H | A | P | G | D |
P | H | B | A | P | D | G |
H | P | A | D | G | H | B |
B | A | P | G | D | H | B |
Ainsi, supprimer la rotation D d’un algorithme réécrit un mouvement A qui la suit en B. Remarquez que cette fois, un mouvement positif reste un mouvement positif car une rotation a un déterminant égal à 1.