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Peu de jours avant mes oraux de CAPES, je me suis demandé comment obtenir un dé à 7 faces, mais à part un prisme ou un antiprisme, je n’ai rien trouvé. Bof.
Je me suis souvenu alors que 8+6=14, en d’autres mots, qu’un cube tronqué sur chacun de ses sommets donne un solide à 14 faces. Reste à obtenir des faces égales.
En toute rigueur, il faudrait que la troncature bien choisie donne la même probabilité d’obtenir une face carrée tronquée ou une face qui tronque. J’en suis incapable alors je me suis contenté de gros calculs pour obtenir des faces d’aire égale.
Je tronque alors le cube sur chacun de ses sommets, ce qui commence par lui enlever une petite pyramide. J’appelle la longueur de son côté droit, son autre côté est donc , la longueur du côté du carré est prise pour 1.
Voir aussi ce devoir à la maison de seconde (difficile) et cette page sur les polyèdres en anglais.
L’aire du triangle équilatéral (la face qui tronque) est donc .
L’aire du carré tronqué (qui est un octogone) est donc de .
Lorsque , les petits triangles tronquants se touchent par les sommets. À partir de là, les petits triangles deviennent des hexagones et les faces tronquées redeviennent des carrés.
Cherchons si pour :
donc , ou
Donc il faut attendre la troncature suivante, en plus ça adoucira les angles.
Il faut noter qu’on passe par le cube tronqué (6 faces octogonales et 8 triangulaires) pour , soit
Si , on obtient le cuboctaèdre.
Pour calculer le côté du petit morceau de triangle équilatéral qui manque à l’hexagone, il faut se rappeler que la figure admet un axe de symétrie au milieu de chaque côté du cube d’origine. Ainsi, ce côté mesure , donc son aire est .
L’aire de l’hexagone est donc .
Quant à l’aire du petit carré, elle vaut .
Elles sont égales si , c’est-à-dire si (l’autre vaut environ , changer les signes moins par des signes plus).
On passe par l’octaèdre tronqué si , soit .
Enfin, si x=1, on obtient un octaèdre.
Il ne reste plus qu’un octaèdre, dont l’aire d’une face vaut .
Voici les courbes obtenues (le fichier de kmplot), ci-dessous une image svg :