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Tout le monde sait depuis la cinquième (et parfois avant) que :
En géométrie plane (euclidienne), la somme des trois mesures des angles d’un triangle vaut 180°.
J’ai piqué l’idée à A. Deledicq, mais je ne sais plus où.
Commençons par donner un tableau contenant une liste d’angles en degrés de triangles :
Numéro du triangle | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Premier angle | 10 | 10 | 10 | 10 | 20 | 20 | 20 | 20 | 30 | 30 | 30 | 40 | 40 | 50 | 60 | 60 | 20 | 60 | 100 | 100 | 80 | 80 | 20 | 140 | 45 |
Deuxième angle | 20 | 40 | 60 | 80 | 20 | 40 | 60 | 80 | 40 | 60 | 75 | 40 | 60 | 60 | 60 | 20 | 100 | 100 | 20 | 60 | 20 | 80 | 140 | 20 | 45 |
Troisième angle | 150 | 130 | 110 | 90 | 140 | 120 | 100 | 80 | 110 | 90 | 75 | 100 | 80 | 70 | 60 | 100 | 60 | 20 | 60 | 20 | 80 | 20 | 20 | 20 | 90 |
Nature | QO | QO | QO | R | IO | QO | QO | IA | QO | R | IA | IA | QA | QA | É | QO | QO | QO | QO | QO | IA | IA | IO | IO | RI |
La nature du triangle est Q s’il est quelconque, I s’il est isocèle, R s’il est rectangle, É s’il est équilatéral, IR s’il est isocèle rectangle, A s’il est aigu et O s’il est obtus.
Noter que certains triangles sont présents trois fois (des isocèles) ou six fois (des quelconques).
On peut représenter les angles des triangles par le graphique suivant, où le troisième angle est en abscisse, le premier est en ordonnée et le deuxième est lisible sur les droites de pente −1.
Les triangles rectangles sont sur les droites rouges d’équation x=90, y=90 et x+y=90. Les triangles isocèles sont sur les droites vertes d’équation x=y, y=180−2x et . Il n’y a aucun triangle au-delà de la droite bleue d’équation y=180−x.
On retrouve six fois les mêmes triangles — par exemple 7, 17, 18, 20, 19 et 16 —, dans six zones différentes, délimitées par les segments verts.
Il est normal d’avoir six zones, puisqu’on doit choisir d’une manière ordonnée deux angles parmi trois, soit 3×2=6 manières.
La partie contenant 7, la plus peuplée ici, représente le cas où le plus grand angle est en abscisse et le plus petit en ordonnée.
La partie contenant 16 représente le cas où le plus grand angle est en abscisse et l’intermédiaire en ordonnée.
La partie contenant 17 représente le cas où l’angle intermédiaire est en abscisse et le plus petit en ordonnée.
La partie contenant 18 représente le cas où le plus petit angle est en abscisse et l’intermédiaire en ordonnée.
La partie contenant 20 représente le cas où le plus petit angle est en abscisse et le plus grand en ordonnée.
Enfin, la partie contenant 19 représente le cas où le plus petit angle est en abscisse et l’intermédiaire en ordonnée.
On nommera les parties en fonction du numéro du triangle cité ci-dessus.
Les transformations du plans permettant de changer de zone sont des symétries non orthogonales, ce qui peut être pénible à première vue.
En fait, vu ce qu’on a écrit avant, ce n’est pas si compliqué.
Par exemple, pour aller de la zone 7 à la zone 16, on garde le plus grand angle et on échange le petit et l’intermédiaire, autrement dit, x′=x et y′=180−x−y.
Pour aller de la zone 7 à la zone 17, on garde le plus petit angle et on échange le grand et l’intermédiaire, autrement dit, x′=180−x−y et y′=y.
Pour aller de la zone 17 à la zone 18, on échange x et y, ce qui permet de composer les transformations et pour aller de la zone 7 à la zone 18, on a x′=y et y′=180−x−y.
Pour aller de la zone 7 à la zone 20, on échange x et y, autrement dit, x′=y et y′=x.
Pour aller de la zone 7 à la zone 19, on passe par la zone 16 puis on échange x et y, donc x′=180−x−y et y′=x.