Page sur le cardinal des fonctions continues

Toute cette page suppose l’hypothèse du continue vraie.

Le cardinal des fonctions de ℝ dans ℝ est ${{\mathrm{\aleph }}_1}^{{\mathrm{\aleph }}_1}={\mathrm{\aleph }}_2$, mais en fait les fonctions que l’on manipule habituellement sont beaucoup moins nombreuses que ça.

Pour commencer, les fonctions continues de ℝ dans ℝ sont déterminées par leurs valeurs dans ℚ dont le cardinal est ℵ₀, donc le cardinal recherché est ${{\mathrm{\aleph }}_1}^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\left({{\mathrm{\aleph }}_0}^{{\mathrm{\aleph }}_0}\right)}^{{\mathrm{\aleph }}_0}={{\mathrm{\aleph }}_0}^{{\mathrm{\aleph }}_0\times {\mathrm{\aleph }}_0}={{\mathrm{\aleph }}_0}^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_1$.

Ce qui veut dire que les fonctions continues, donc les fonctions dérivables, les fonctions C^∞, sont aussi nombreuses que les fonctions constantes.

Et de plus, il y a infiniment plus de fonctions tordues et pathologiques que de fonctions normales.

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