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Toute cette page suppose l’hypothèse du continue vraie.
Le cardinal des fonctions de ℝ dans ℝ est , mais en fait les fonctions que l’on manipule habituellement sont beaucoup moins nombreuses que ça.
Pour commencer, les fonctions continues de ℝ dans ℝ sont déterminées par leurs valeurs dans ℚ dont le cardinal est ℵ0, donc le cardinal recherché est .
Ce qui veut dire que les fonctions continues, donc les fonctions dérivables, les fonctions C∞, sont aussi nombreuses que les fonctions constantes.
Et de plus, il y a infiniment plus de fonctions tordues et pathologiques que de fonctions normales.