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Le livre II des Éléments d'Euclide

Introduction

Les Éléments d'Euclide (vers -325, vers -265) closent une tradition d'écriture d'Éléments de mathématiques —synthétisant les connaissances contemporaines- par leur succès dû à leur supériorité de systématisation, d'organisation, et de logique mais non d'exhaustivité (les Éléments d'Euclide ne comprennent aucune proposition sur les coniques ou sur les constructions par ajustement ou neusis). Ils contiennent treize livres plus deux admis aujourd'hui comme apocryphes et dont je ne parlerai pas.

Présentation des Éléments d'Euclide

Les livres I à IV traitent de géométrie plane :

Le livre I énonce les propriétés de base de la géométrie : théorème de Pythagore, égalités angulaires et d'aires et parallélisme, somme des angles du triangle, les trois cas d'égalité de triangles.

Le livre II est couramment nommé livre de l'algèbre géométrique, parce qu'il est un livre de géométrie facile à interpréter comme de l'algèbre. Je vais étudier en quoi ce livre n'est précisément pas de l'algèbre, mais aussi comment il a été compris et utilisé en mathématiques arabes pour l'algèbre.

Le livre III traite du cercle et de ses propriétés : angle inscrit, puissance d'un point, tangente.

Le livre IV s'occupe de l'inscription et de la circonscription de triangles ou de polygones réguliers dans le cercle.

Les livres V à X font intervenir les proportions :

Le livre V est le traité des proportions de grandeurs.

Le livre VI est celui de l'application des proportions à la géométrie : théorème de Thalès, figures semblables.

Le livre VII est consacré à l'arithmétique : divisibilité, nombres premiers, PGCD, PPCM.

Le livre VIII traite de l'arithmétique des proportions et des suites géométriques.

Le livre IX est applique les précédents : infinité des nombres premiers, somme d'une série géométrique, nombres parfaits.

Le livre X est une tentative de classification des grandeurs irrationnelles introduisant la méthode par exhaustion, prémisse de l'intégration.

Les livres XI à XII traitent de géométrie dans l'espace :

Le livre XI généralise dans l'espace les livres I à VI : perpendicularité, parallélisme, volumes de parallélépipèdes.

Le livre XII calcule des aires et volumes en utilisant la méthode d'exhaustion : disque, cônes, pyramides, cylindres et sphère.

Le livre XIII est la généralisation du livre IV dans l'espace : section dorée, les cinq polyèdres réguliers inscrits dans une sphère.

Avant le livre II

Un livre étrange

Le livre II des Éléments d'Euclide contient 2 définitions et quatorze propositions —dont deux problèmes de construction— qui concernent toutes des égalités d'aires de surfaces.

Ce livre paraît hétéroclite pour le lecteur non averti :

Les dix premières propositions sont indépendantes les unes des autres selon l'ordre logique du livre —pas selon une interprétation moderne—, mais les quatre dernières dépendent des propositions II.4 à II.7.

Elles sont diversement utilisées dans la suite des Éléments, certaines sont des cul-de-sacs, d'autres sont très fécondes.

Elles démontrent toutes des égalités d'aires de surfaces rectangulaires ou carrées mais il s'agit de constats visuels ne nécessitant que peu de démonstration au lecteur moderne, d'une construction sous contrainte ou de généralisations de propositions du livre I.

La grande majorité ces propositions sont très faciles à comprendre en langage algébrique mais ces interprétations possibles sont multiples et on en perd le sens géométrique.

Le livre II est en fait la suite attendue du livre I, du moins en ce qui concerne l'étude des aires.

Le livre I

Ce livre contient une série de propositions concernant des égalités d'aires de triangles, de parallélogrammes ou de carrés.

La numérotation et le contenu des propositions des Élements utilisés ici sont ceux de la version de Peyrard.

I.4 est le deuxième cas d'égalité des triangles (un angle et deux côtés adjacents égaux).

I.8 est le troisième cas d'égalité des triangles (trois côtés égaux).

I.26 est le premier cas d'égalité des triangles (deux angles et le côté commun égaux).

I.34 énonce le découpage d'un parallélogramme en deux triangles égaux.

I.35 et I.36 énoncent des égalités d'aires de parallélogrammes de même base et de même hauteur.

I.37 et I 38 énoncent des égalités d'aires de triangles dans le même cas que I.35 et I.36 respectivement.

I.39 à I.41 sont des propositions réciproques des quatre précédentes.

I.42 demande de construire un parallélogramme égal et de même hauteur qu'un triangle.

I.43 énonce l'égalité d'aire de deux compléments dans un parallélogramme.

I.44 demande de construire un parallélogramme égal à un triangle sur une base donnée (application de l'aire du triangle sur la base).

I.45 énonce la « rectangulature » de toute figure rectiligne.

I.47 construit un carré dont l'aire est la somme de celles deux autres carrés.

On remarque qu'aucune de ces propositions ne peut s'interpréter algébriquement, c'est-à-dire comme une identité ou une équation.

On devine ainsi qu'il ne manque plus pour terminer cet aspect du livre I que la quadrature (i.e. construire un carré de même aire) de toute figure rectiligne, voire de toute figure.

-Le livre II

Les définitions

Définition II.1

Tout parallélogramme rectangle est dit contenu sous deux droites qui comprènent un angle droit.

Cette définition sert à qualifier un rectangle autrement que par sa diagonale : par deux côtés consécutifs.

Définition II.2

Que dans tout parallélogramme, l'un quelconque des parallélogrammes décrits autour de la diagonale avec les deux compléments soit appelé gnomon.

Cette définition, comme la précédente, est une convention de vocabulaire facilitant l'exposé de ce livre. Quand dans un parallélogramme on retranche un petit parallélogramme semblable au grand et construit sur ses côtés, la partie restante en forme de L est appelée gnomon.

Il faut noter que les surfaces considérées dans ce livre sont toutes rectangulaires, la définition est plus générale que son usage dans le livre II.

Les propositions

Je vais étudier brièvement dans cette partie le contenu mathématique de chacune des quatorze propositions du livre II, en les interprétant algébriquement pour faciliter le travail.

Je vais regrouper deux par deux les propositions similaires, qui ne différeraient algébriquement que par le signe d'une grandeur.

k a c b Proposition II.1

Si l'on a deux droites et si l'une d'elles est coupée en tant de parties que l'on voudra, le rectangle contenu sous ces deux droites est égal aux rectangles contenus sous la droite qui n'a point été coupée, et sous chacun des segments de l'autre.

Il est possible d'interpréter cette proposition comme une propriété additive des aires de surfaces rectangulaires disjointes, et algébriquement comme la distributivité simple :

k×(a+b+c+...)=k×a+k×b+k×c+...

Dans les propositions II.1 à II.8 incluse, Euclide se borne à démontrer que les figures tracées sont bien celles demandées et qu'il a le droit de les tracer (par exemple la construction du carré est démontrée dans I.46), puis à constater par ajouts, retranchements ou comparaisons que la proposition est vraie.

A C B Propositions II.2 et II.3

Si une ligne droite est coupée à volonté, les rectangles contenus sous la droite entière et sous l'un et l'autre segment, sont égaux au quarré de la droite entière.

A C B Si une ligne droite est coupée à volonté, le rectangle contenu sous la droite entière et l'un des segments, est égal au rectangle contenu sous les segments et au quarré du segment premièrement dit.

Ces propositions sont, selon une lecture moderne, des cas particuliers de II.1 ; mais pour Euclide un carré n'est pas un rectangle.

Ce qui donne respectivement :

II.2 : si AC=a et CB=b alors (a+b)×a+(a+b)×b=(a+b)2 ou si AB=a et CB=b alors a×(a-b)+a×b=a2.

II.3 : si AC=b et CB=a alors (a+b)×a=a×b+a2 ou si AB=b et CB=a alors b×a=(b-a)×a+a2.

Il apparaît déjà que l'on peut interpréter algébriquement de plusieurs manières chacune des deux propositions, mais aussi on peut les comprendre comme l'expression d'un carré comme ajout ou retranchement de deux rectangles.

Proposition II.4

Si la droite est coupée à volonté, le quarré de la droite entière et égal aux quarrés des segments, et à deux fois le rectangle contenu sous les deux segments.

Cette proposition est reconnaissable algébriquement comme la première identité remarquable : si AC=a et CB=b alors (a+b)2=a2+b2+2×a×b.

Propositions II.5 et II.6

A C D B Contenu

Si une droite est coupée en parties égales et en parties inégales, le rectangle sous les deux segments inégaux de la droite entière avec le quarré de la droite placée entre les sections, est égal au quarré de la moitié de la droite entière.

A C B D Si une droite est coupée en deux partie égales, et si on lui ajoute directement une droite, le rectangle compris sous la droite entière avec la droite ajoutée, et sous la droite ajoutée, avec le quarré de la moitié de la droite entière, est égal au quarré décrit avec la droite composée de la moitié de la droite entière et de la droite ajoutée, comme avec une seule droite.

Ces deux propositions peuvent être traduites algébriquement de plusieurs manières, j'en indiquerai deux chacune, soit respectivement :

II.5 : si AB=a et DB=b alors ou si AC=BC=a et CD=b alors (a-b)×(a+b)+b2=a2 (c'est la troisième identité remarquable).

II.6 : si AB=a et DB=b alors ou si AC=BC=a et CD=b alors (b+a)×(b-a)+a2=b2.

La similitude de ces propositions se renforce : géométriquement seule la position d'un segment change, dans la première interprétation algébrique seul le signe de b change.

Ces deux propositions ont vite été comprises par les algébristes arabes comme par Diophante comme un moyen de justifier géométriquement ce qu'on appelle aujourd'hui la résolution d'équations quadratiques.

Ces deux propositions servent à la fin du livre II, j'y reviendrai, et rarement dans la suite des Éléments. Voici deux exemples d'application de la proposition II.5 à la résolution d'équations quadratiques, les deuxièmes et troisièmes cas d'al-Khwarizmi dans le Livre d'algèbre et d'al-muqabalah : « un carré et vingt et un dirhems sont égaux à dix racines » puis « trois racines et quatre nombres sont égaux à un carré ».

Notons qu'al-Khwarizmi n'a probablement pas connaissance du livre II puisqu'il n'en utilise pas les définitions (pas de notion de gnomon ni de rectangle compris sous deux droites) mais ses démonstrations redémontrent II.5 et les figures sont les mêmes.

Dans les trois résolutions qui suivent, je cherche une analyse de la méthode de résolution qui utilise II.5 comme raccourci.

Un carré et 21 dirhems sont égaux à 10 racines

M L K R H N T B D A C G Je reprends les notations et la figure d'al-Khwarizmi : le carré ABDC a pour côté la racine x, si je lui ajoute le rectangle ABNH d'aire 21, j'obtiens le rectangle CHND tel que CD=x et CH=10. Je dois donc couper un segment de longueur 10 de manière à lui appliquer un rectangle d'aire 21 par défaut d'un carré.

Or si je construis un carré NTKM sur la moitié de DN, II.5 me permet d'affirmer que le gnomon NTGRLM a la même aire que le rectangle ABNH. L'aire de NTKM vaut 52=25, l'aire du gnomon vaut 21 donc l'aire du petit carré RGKL vaut 4, son côté vaut 2 et x=GT=3.

M L K R H N T B D A C G Q Il se trouve que cette équation admet deux solutions, al-Khwarizmi ayant supposé que 21>x2 : supposons au contraire que 21<x2.

Le carré ABDC et le rectangle ABHN sont disposés comme dans le premier cas mais le reste de la figure ressemble plus à celle de l'équation suivante, le carré construit sur la moitié de DN est cette fois à l'intérieur du rectangle CHND. Le rectangle sous les parties inégales de ND est ABNH, son aire plus celle de RQKL vaut l'aire du carré NTKM et on retrouve KL=2, donc cette fois x=BD=7.

Il faut noter que cette équation n'a pas de solution si le quart du carré du nombre de racines est inférieur au nombre de dirhems (si on avait eu ), c'est-à-dire si le carré NTKM ne peut pas contenir entièrement le rectangle ABNH.

3 racines et 4 nombres sont égaux à un carré

Le carré est ABDC, dont le côté est l'inconnue x, les 3 racines sont représentées par le rectangle CHRD avec CH=3 et les 4 nombres sont représentés par le rectangle HABR. D'après II.5, l'aire du gnomon HAMLTK vaut 4, comme l'aire du petit carré GHKT vaut 2,25, l'aire du carré GAML vaut 6,25, son côté vaut 2,5 donc x=CA=4.

B C A Proposition II.7

Si une ligne droite est coupée d'une manière quelconque, le quarré de la droite entière et le quarré de l'un des segments, pris ensemble, sont égaux à deux fois le rectangle compris sous la droite entière et ledit segment, et au quarré du segment restant.

II.7 peut s'interpréter ainsi :

Si AB=a et BC=b alors a2+b2=2×a×b+(a-b)2 (c'est la deuxième identité remarquable) ou si AC=a et BC=b alors (a+b)2+b2=2×(a+b)×b+a2.

Elle peut se déduire de II.4, la figure est la même, il suffit d'appliquer II.4 et d'ajouter un petit carré dans chaque membre.

B C A D Proposition II.8

Si une ligne droite est coupée d'une manière quelconque, quatre fois le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments, avec le quarré du segment restant, est égal au quarré décrit avec la droite entière et ledit segment, comme avec une seule droite.

II.8 peut s'interpréter ainsi : :

Si AB=a et BC=BD=b alors 4×a×b+(a-b)2=(a+b)2.

A C D B Propositions II.9 et II.10

Si une ligne droite est coupée en parties égales et en parties inégales, les quarrés des segments inégaux de la droite entière sont doubles du quarré de la moitié de cette droite et du quarré de la droite placée entre les deux sections.

A C D B Si une ligne droite est coupée en deux parties égales, et si on lui ajoute directement une droite, le quarré de la droite entière avec la droite ajoutée, et la quarré de la droite ajoutée, étant pris ensemble, sont doubles du quarré de la moitié de la droite entière, et du quarré décrit avec la droite composée de la moitié de la droite entière et de la droite ajoutée, comme avec une seule droite.

Voici deux interprétations de chacune d'elles :

II.9 : si AB=a et BD=b alors ou si AC=a et CD=b alors (a+b)2+(a-b)2=2×a2+2×b2.

II.10 : si AB=a et BD=b alors ou si AC=a et CD=b alors (a+b)2+(b-a)2=2×a2+2×b2.

On remarque encore qu'une même égalité algébrique peut représenter deux figures différentes, comme une même figure peut s'interpréter de plusieurs manières.

Leurs preuves utilisent élégamment I.47 pour éviter de lourdes démonstrations (cf. Vitrac p. 349) à la manière des précédentes.

Proposition II.11

Z H A E C D B K O L Contenu

Couper une droite donnée, de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments, soit égal au quarré du segment restant.

Cette proposition est la première construction du livre II ainsi que la première utilisant une autre proposition de ce livre.

Elle peut s'interpréter ainsi :

Soit a donné, déterminer b pour que a×(a-b)=b2, soit a2=b2+a×b.

On reconnaît la section dorée (en utilisant le langage des proportions a est à b comme b est à a-b ou ), mais construite ici sans faire appel à la notion de raison du livre V. Il faut noter que la section en extrême et moyenne raison est démontrée dans VI.30 -en utilisant la notion de raison-, mais que la construction de pentagone régulier de IV.10 ne la nécessite pas et utilise II.11 à la place.

Analyse

L'aire du carré AZHO est égale à celle du rectangle KOBD donc je dois appliquer CABD sur AC par excès d'un carré. E étant le milieu de [AC], II.6 énonce que le carré EAOL et le rectangle CZHK font le carré construit sur EZ. Or je veux que l'aire de CZHK soit égale à celle du carré CABD, mais comme d'après I.47, CABD et EAOL font le carré construit sur EB, je dois avoir EB=EZ.

B D A C Propositions II.12 et II.13

B D A C Dans les triangles obtusangles, le quarré du côté qui soutend l'angle obtus est plus grand que les quarré des côtés qui comprènent l'angle obtus, de deux fois le rectangle compris sous celui des côtés de l'angle obtus sur le prolongement duquel tombe la perpendiculaire, et sous la droite prise extérieurement de la perpendiculaire à l'angle obtus.

Dans les triangles acutangles, le quarré du côté qui soutend un angle aigu est plus petit que les quarrés des côtés qui comprènent cet angle aigu, de deux fois le rectangle compris sous le côté de l'angle aigu sur lequel tombe la perpendiculaire, et sous la droite prise intérieurement de la perpendiculaire à cet angle aigu.

Ces deux propositions ne sont pas interprétables algébriquement mais trigonométriquement :

II.12 : BC2=BA2+AC2+2×CA×AD

II.13 : AC2=AB2+BC2-2×CB×BD

On reconnaît le théorème d'al-Kashi (BC2=BA2+AC2-2×BA×AC×cos BAC), exprimé géométriquement selon si l'angle considéré est obtus ou aigu. Ces deux propositions comme II.14 sont strictement géométriques et n'ont donc pas leur place dans un livre d'algèbre, même géométrique.

Proposition II.14

O Z B C D E H A Contenu

Construire un quarré égal à une figure rectiligne donnée.

Cette proposition ne peut pas non plus s'interpréter algébriquement, son but est seulement de carrer les figures rectilignes (les polygones) à la règle et au compas.

Analyse

Je veux construire un carré égal à un rectangle donné, la construction du rectangle égal à la figure rectiligne est donnée dans I.45. Pour cela, je peux exprimer l'aire de DEBC sous la forme d'une somme ou d'une différence de deux carrés, à la manière de II.11.

Or d'après II.5, le rectangle DEBC et le carré construit sur EH font le carré construit sur BH, on a exprimé l'aire de DEBC comme différence de deux carrés, il suffit d'appliquer I.47 pour conclure.

Conclusion : est-ce de l'algèbre ?

Le livre II n'est pas selon mon point de vue de l'algèbre même au sens de Zeuthen, en voici les raisons.

Il faut d'abord savoir ce qu'on entend par algèbre ; selon le Dictionnaire des mathématiques :

« Algèbre

[...]

Issue du calcul pratique sur les nombres et de recherches d'arithmétique élémentaires, l'algèbre s'est d'abord dégagée de ses origines en se développant dans deux directions : remplacement des nombres par des lettres et passage du calcul des formules à la résolution d'équations (c'est-à-dire de formules contenant des nombres inconnus). »

Je ne mentionnerai pas le sens moderne d'algèbre mais plutôt le sens historique, celui signifié ici par le Dictionnaire.

L'algèbre traite de grandeurs représentées par des lettres (ou des mots dans les débuts de l'algèbre), pour calculer et pour résoudre des problèmes mais aussi pour résoudre des problèmes en utilisant le calcul. L'algèbre est la science de la chose, de l'inconnue.

L'algèbre géométrique selon Zeuthen est un ensemble d'opérations (ajout, retranchement, rectangle, carré, application) et de résolutions de problèmes sur des grandeurs géométriques. À mon avis le terme d'algèbre est anachronique et cache l'aspect avant tout géométrique de ce livre, ce qui est montré par exemple par les trois dernières propositions incompréhensibles algébriquement et par l'absence totale d'application numérique ou par la présence constante de deux propositions jumelles qui ne se différencient que par la position -ajoutée ou retranchée- d'un segment.

Comparons ce qui différencie le livre II de l'algèbre dans un tableau :

Euclide	algèbre
grandeurs géométriques : segment, surface, volume	symbolisme (absent chez les arabes), notion d'inconnue
droites égales	distance mesurée, longueur
figures égales	aires égales
figures composées	aires numériques ajoutées
solides égaux	volumes égaux
égalités de figures rectilignes	identités remarquables (absentes chez les arabes)
égalité de figures (rectilignes) sous contrainte	équation
construction de figures	détermination de nombres
démonstrations géométriques	algorithmes numériques
homogénéité des grandeurs stricte	homogénéité omise ou relâchée
dimension 3 au maximum	pas de limite de dimension
ajout, pluriel, avec	addition
retranchement	soustraction
un théorème par emplacement	signe négatif ou positif
rectangle contenu sous deux droites, carré	multiplication
application en parabole	division
application en ellipse ou en hyperbole	équation de second degré
moyenne proportionnelle	racine carrée ou moyenne géométrique
résolution de problèmes et démonstration de théorèmes géométriques	résolution d'une classe de problèmes numériques en se ramenant à peu de problèmes types

Ce tableau résume les différences fondamentales entre l'algèbre arabe (et plus encore l'algèbre moderne) et la géométrie du livre II. La première résout des problèmes numériques (les preuves sont en revanche géométriques) et ouvre la voie de la science de la chose, la seconde résout géométriquement des problèmes géométriques (qu'on peut malgré tout interpréter algébriquement, contrairement au livre I).

Bibliographie

Les Éléments d'Euclide, trad. Peyrard, Blanchard, 1993, Paris

The thirteen books of the Elements Vol. 1, Euclid, trad. Heath, Dover, 1956, New York

Euclid's Elements, arr. Joyce,
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html, 1996-1998

Les Élements d'Euclide Vol. 1, trad. Vitrac, PUF, 1990, Paris

Histoire des mathématiques dans l'antiquité et le moyen-âge, Zeuthen, Gauthier-Villars, 1902, Paris

The algebra of Mohammed Ben Musa, al-Kwarizmi, trad. Rosen, 1986

Dictionnaire des mathématiques, Bouvier, George, Le Lionnais, PUF, 2001, Paris

Table des matières

Introduction	1

Présentation des Éléments d'Euclide	1

Avant le livre II	2

Un livre étrange	2

Le livre I	2

-Le livre II	3

Les définitions	3

Définition II.1	3

Définition II.2	3

Les propositions	3

Proposition II.1	3

Propositions II.2 et II.3	4

Proposition II.4	4

Propositions II.5 et II.6	4

Contenu	4

Un carré et 21 dirhems sont égaux à 10 racines	5

3 racines et 4 nombres sont égaux à un carré	6

Proposition II.7	6

Proposition II.8	6

Propositions II.9 et II.10	6

Proposition II.11	7

Contenu	7

Analyse	7

Propositions II.12 et II.13	8

Proposition II.14	8

Contenu	8

Analyse	8

Conclusion : est-ce de l'algèbre ?	9

Bibliographie	11

2003-04-11T10:29:33