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Ce texte est inspiré par La jubilation en mathématiques d’André Deledicq, page 22.
On connaît tous les critères pour savoir si un nombre est divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10 (et un partiel pour 11). Il en existe d’autres, dont celui (très général) de Pascal ; mais il y en a un plus astucieux, quoiqu’applicable moins souvent.
Ce moyen permet de trouver des critères de divisibilité par 7, 11, 13, 19, 17, 29 ou 31. Pour des nombres plus grands, cela devient lourd.
En fait, ce critère utilise les restes de la division de multiples de 10 bien choisis par le nombre en question, mais attention, elle ne donne en général pas le reste de la division par celui-ci (sauf pour 9 ou pour 3).
En conséquence, les tests du critère sont fortement liés à la base utilisée, ici la base 10. Il faudrait adapter le tableau pour d’autres bases, en sachant que le principe du critère est lui indépendant de la base de numération.
Il suffit de retrancher ou d’ajouter un certain nombre (fixé) de fois le dernier chiffre du nombre au reste du nombre.
Par exemple, prenons 4859 et on va retrancher trois fois le dernier chiffre :
4859 donne 485−3×9=485−27=458.
On recommence : 45−3×8=45−24=21. Ce n’est pas la peine de continuer, le nombre est assez petit.
Maintenant, on vérifie si 21 est divisible par le nombre voulu (il s’agit de 31 ici). La réponse est donc négative.
On va écrire le multiple éventuel sous la forme 10d+u (d comme dizaine et u comme unité), et on va nommer le diviseur éventuel q (comme quotient). Dans l’exemple précédent, d=485 et u=9 à la première étape et q=31.
Supposons que qr=10a+e (donc q divise 10a+e), e valant 1 ou −1. Par exemple, 31=10×3+1 ou 3×13=10×4−1. En fait, seuls a et e sont importants.
Supposons maintenant que q divise 10d+u, il divise alors a(10d+u)=10ad+au, mais aussi d(10a+e) donc la différence qui vaut 10ad+au−d(10a+e)=10ad+au−10ad−de=au−ed.
On multiplie par e et on en prend l’opposé, il vient donc que q divise d−eau.
La réciproque consiste à remonter les calculs, en sachant que q divise 10a+e. Ainsi, si q divise d−eau, alors il divise aussi 10d+u.
Le test permet donc de vérifier si oui ou non un nombre est divisible par q.
Pour savoir si un nombre est un multiple d’un nombre voulu, il suffit de lire le tableau suivant :
diviseur | 3 | 7 | 9 | 11 | 13 | 17 | 19 | 29 | 31 | 41 | 101 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
multiple | 9 | 21 | 9 | 11 | 39 | 51 | 19 | 29 | 31 | 41 | 101 |
a | 1 | 2 | 1 | 1 | 4 | 5 | 2 | 3 | 3 | 4 | 100 |
−e | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | 1 | −1 | −1 | −1 |
−ea | 1 | −2 | 1 | −1 | 4 | −5 | 2 | 3 | −3 | −4 | −100 |
On retrouve la preuve par 9, et le critère de divisibilité par 3 et 9. Notez que pour 11, il faut retrancher le dernier chiffre.
Ainsi, pour savoir si un nombre est multiple de 7, il suffit de retrancher 2 fois le dernier chiffre, et répéter. Ce critère peut aussi servir pour 3 mais pas pour 9.
On retrouve bien ce qui a été annoncé quand on a cherché si 4859 est divisible par 31.