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Le tome 6 des aventures de Julius Corentin Acquefacques de Marc-Antoine Mathieu contient un chapitre numéroté 26 !! qui compte le nombre de mots de 26 lettres.

Les héros se rendent compte que le sable sur lequel ils marchent est constitué de mots de 26 lettres ou moins, de tous les mots d’au plus 26 lettres. Le personnage matheux calcule d’abord $\sum _{i=1}^{26}i!=419450149241406189412940313$ puis change pour $\sum _{i=1}^{26}{26}^i=26\times \frac{{26}^{26}-1}{26-1}=6402364363415443603228541259936211926$.

La bonne réponse est la deuxième puisque la première avec les factorielles compte en partie les mots qui n’ont pas deux lettres identiques. Cette somme de factorielles ne compte pas tous les mots puisqu’elle ne compte que les mots qui n’utilisent que les i-ièmes premières lettres de l’alphabet. Pour compter tous les mots sans lettre répétées, il faut d’abord choisir i lettres parmi les 26 soit multiplier chaque i! par $C_{26}^i=\frac{26!}{i!\left(26-i\right)!}$, les i! se simplifient, on a donc à calculer $\sum _{i=1}^{26}\frac{26!}{\left(26-i\right)!}=\sum _{i=0}^{26}\frac{26!}{i!}-1=1096259850353149530222034276$.

Ensuite, un personnage obtient le mot « poires » qui a six lettres. La probabilité d’obtenir un mot de six lettres est de $\frac{{26}^6}{\sum _{i=0}^{26}{26}^i}=\frac{308915776}{6402364363415443603228541259936211926}=\frac{11881376}{246244783208286292431866971536008151}\approx \mathrm{4,8250264818605846}.{10}^{-29}$.

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