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Le sujet de mathématiques générales de 1998 commence par deux petites parties de géométrie amusante, compréhensibles presque par tout un chacun.
Il s’agit de montrer que le plan n’est pas recouvrable par une famille de cercles disjoints deux à deux, mais que l’espace l’est.
Pour suivre la démonstration, faites des dessins.
Supposons que le plan soit recouvert par une famille de cercles , de rayon ri.
Prenons un des cercles de celle-ci, de rayon . Puisqu’il contient des points du plan, il contient d’autres cercles de ladite famille.
En particulier, il contient au moins un cercle de rayon inférieur à .
Sinon, certains points situés dans le plus petit cercle de rayon plus grand que ne seraient pas des points atteints par des cercles de la famille.
Soit donc un cercle inclus dans et de rayon inférieur à .
On recommence avec et par récurrence immédiate, on a une suite de cercles emboîtés dont les rayons tendent vers 0 (en effet, ).
Donc il existe un point à l’intersection de tous les disques de circonférences les cercles précédents, et ce point ne peut pas être un point sur un des cercles de , sinon ce cercle couperait un des cercles de la famille emboîtée, ce qui est interdit par la consigne (des cercles disjoints deux à deux).
Donc le plan ne peut pas être recouvert par une famille de cercles disjoints deux à deux.
L’espace, en revanche, peut être recouvert par une famille de cercles disjoints deux à deux, et facile à construire de surcroît.
Il suffit de commencer par placer des cercles de même rayon — en collier — sur une droite, comme si un sur deux était absent.
Comme ça : —◯—◯—◯—◯—◯—
Le diamètre des cercles est égal à la distance entre deux cercles.
On a là une sous-famille de la famille de cercles demandée.
On choisit un des points de contact entre la droite et un des cercles, on le nomme O et on considère toutes les sphères de centre O.
Soit la sphère est tangente à un des cercles (donc à deux exactement), dans ce cas la sous-famille est l’ensemble des cercles parallèles de pôles les deux points de contact. Les cercles sont dans un axe perpendiculaire à la première droite (en tranches).
Soit la sphère coupe un seul des cercles, mais en deux points M et N. Dans ce cas, la sous-famille de cercles est constituée des intersections de la sphère avec les plans passant par l’intersection D des deux plans tangents en M et N (en tranches aussi, mais les parallèles sont déformés, ils penchent et passent tous par D).
Donc, quelle que soit la position de la sphère, on peut y construire une famille de cercles la recouvrant (exceptés les deux points M et N), et tout point de l’espace est soit sur un des cercles du collier, soit sur une des sphères.
Donc l’espace est recouvrable par une famille de cercles disjoints deux à deux ; et trivialement les espaces de dimension supérieure aussi.