Page sur un isomorphisme non trivial

Quelques collègues agrégatifs parlaient de la trivialité de la preuve de l’isomorphie de $\left(\frac{\mathrm{\mathbb{Z}}}{10\mathrm{\mathbb{Z}}},+\right)$ et de $\left({\frac{\mathrm{\mathbb{Z}}}{11\mathrm{\mathbb{Z}}}}^{\ast },\times \right)$, l’un d’eux parlait de l’isomorphie de corps finis de même cardinal. Certes, deux corps finis de même cardinal sont isomorphes, mais ici il s’agit de groupes.

Il faut donc trouver un isomorphisme entre les deux groupes. Commençons par construire leurs tables d’opérations.

La table de $\left(\frac{\mathrm{\mathbb{Z}}}{10\mathrm{\mathbb{Z}}},+\right)$, trouvée avec la commande scilab modulo(((0:9)'*ones(1,10))+(ones(10,1)*(0:9)),10), donne :

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
2	2	3	4	5	6	7	8	9	0	1
3	3	4	5	6	7	8	9	0	1	2
4	4	5	6	7	8	9	0	1	2	3
5	5	6	7	8	9	0	1	2	3	4
6	6	7	8	9	0	1	2	3	4	5
7	7	8	9	0	1	2	3	4	5	6
8	8	9	0	1	2	3	4	5	6	7
9	9	0	1	2	3	4	5	6	7	8

La table de $\left({\frac{\mathrm{\mathbb{Z}}}{11\mathrm{\mathbb{Z}}}}^{\ast },\times \right)$, trouvée avec la commande scilab modulo(((1:10)'*ones(1,10)).*(ones(10,1)*(1:10)),11), donne :

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	1	3	5	7	9
3	3	6	9	1	4	7	10	2	5	8
4	4	8	1	5	9	2	6	10	3	7
5	5	10	4	9	3	8	2	7	1	6
6	6	1	7	2	8	3	9	4	10	5
7	7	3	10	6	2	9	5	1	8	4
8	8	5	2	10	7	4	1	9	6	3
9	9	7	5	3	1	10	8	6	4	2
10	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

Il est clair que les deux tables n’ont pas du tout la même tête, et que le prétendu isomorphisme ne se voit pas.

Il faut en fait remarquer que ces deux groupes sont monogènes et commutatifs. $\left(\frac{\mathrm{\mathbb{Z}}}{10\mathrm{\mathbb{Z}}},+\right)$ est engendré par 1 alors que $\left({\frac{\mathrm{\mathbb{Z}}}{11\mathrm{\mathbb{Z}}}}^{\ast },\times \right)$ est engendré par 2.

La genèse du premier par 1 est triviale, en revanche, voici la suite des puissances de 2 dans $\left({\frac{\mathrm{\mathbb{Z}}}{11\mathrm{\mathbb{Z}}}}^{\ast },\times \right)$, donnée par la commande scilab modulo(2.^(0:9),11) :

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2i	1	2	4	8	5	10	9	7	3	6

On retrouve tous les éléments de $\left({\frac{\mathrm{\mathbb{Z}}}{11\mathrm{\mathbb{Z}}}}^{\ast },\times \right)$ mais dans le désordre. Rerangeons sa table dans l’ordre trouvé, ce qui peut se faire avec la commande scilab modulo(((2.^(0:9))'*ones(1,10)).*(ones(10,1)*((2.^(0:9)))),11) :

×	1	2	4	8	5	10	9	7	3	6
1	1	2	4	8	5	10	9	7	3	6
2	2	4	8	5	10	9	7	3	6	1
4	4	8	5	10	9	7	3	6	1	2
8	8	5	10	9	7	3	6	1	2	4
5	5	10	9	7	3	6	1	2	4	8
10	10	9	7	3	6	1	2	4	8	5
9	9	7	3	6	1	2	4	8	5	10
7	7	3	6	1	2	4	8	5	10	9
3	3	6	1	2	4	8	5	10	9	7
6	6	1	2	4	8	5	10	9	7	3

Et voilà, les deux tables se ressemblent. Notez qu’en plus, on a trouvé l’isomorphisme de $\left(\frac{\mathrm{\mathbb{Z}}}{10\mathrm{\mathbb{Z}}},+\right)$ dans $\left({\frac{\mathrm{\mathbb{Z}}}{11\mathrm{\mathbb{Z}}}}^{\ast },\times \right)$, il s’agit de la puissance de 2.

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