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Ce problème est souvent posé de la maninère suivante :
Un groupe de chasseurs part de son camp, fait 10 km au sud, voit l’ours, le suit sur 10 km à l’ouest, le tue puis revient au camp en parcourant 10 km au nord. Quelle est la couleur de l’ours ? Noter qu’il n’y a pas d’ours au pôle sud.
La réponse classique est de dire que le camp est au pôle nord et que donc l’ours est blanc. Mais un poseur de problèmes d’un magajine de zeux vidéo a décrété que la solution n’était justement pas cette solution facile. D’ailleurs, R. Smullyan, dans le problème 14 de Quel est le titre de ce livre ?, parle de toutes ces solutions. Il faut remarquer que le triangle formé par le parcours des chasseurs est équilatéral et a deux angles droits.
Je vais donc résoudre le cas non trivial puis le généraliser à d’autres longueurs que 10 km.
On se place pas loin du pôle sud, on fait 10 km vers le sud (sans rencontrer le pôle), puis on fait en 10 km le tour du pôle, et on revient au départ en 10 km vers le nord. On peut faire plusieurs tours.
Je commence par la méthode la plus simple, où on suppose en première approximation le sol plat aux alentours du pôle, voici le fichier kig.
Le parcours circulaire fait 10 km, soit de rayon soit si on fait un tour. Dans ce cas, on doit se placer à 11,59 km du pôle.
Si on fait n tours, on doit se rapprocher d’autant du pôle, et on doit se placer à .
Voici la liste des dix premières valeurs :
Nombre de tours | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Distance au pôle | 11,591549 | 10,795775 | 10,530516 | 10,397887 | 10,31831 | 10,265258 | 10,227364 | 10,198944 | 10,176839 | 10,159155 |
Avec des longueurs différentes de 10 km, les deux parcours vers le nord et vers le sud doivent avoir la même longueur a, en revanche l’autre est libre, disons b. En gardant le nombre de tours égal à n, la distance au pôle est de . Évidemment, si on prend a ou b trop grands, l’approximation ne tient plus.
Là, je suppose en deuxième approximation le sol sphérique, ce qui est un peu plus pénible, mais encore faisable, voici le fichier kig.
Il faut une vue en coupe de la Terre pour voir ce qui se passe. O est le centre de la Terre, le reste se lit sur la figure. Le point B est le point d’où on commence et termine le(s) tour(s) autour du pôle, la distance notée d vaut en fait celle que je viens de calculer dans le cas plat, soit , la distance a est la distance du camp à B, et R le rayon de la Terre.
En d’autres mots, on doit se placer à un angle . L’angle nécessite de calculer la distance de B au pôle, et on n’a que d.
, et donc la distance entre B et le pôle vaut . Au total, la distance entre le camp et le pôle vaut et l’angle au pôle vaut .
Ce qui fait, si on ne fait qu’un tour, et dans les conditions originales : . En clair, la première approximation était largement suffisante.
Voici la liste des 10 premières valeurs de la distance, avec cette méthode, on retrouve celles ci-dessus :
Nombre de tours | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Distance au pôle | 11,591549 | 10,795775 | 10,530516 | 10,397887 | 10,31831 | 10,265258 | 10,227364 | 10,198944 | 10,176839 | 10,159155 |
Ceci ne vaut que si B est dans l’hémisphère sud, je vous laisse faire le calcul dans le cas contraire. Dans ce cas, si a et b sont bien disposés (à commencer par a < b), on peut aussi trouver des solutions restant dans l’hémisphère nord sans être pour autant au pôle nord ; il suffit de faire le bon nombre de tours autour du pôle nord à la manière du cas précédent.
On aurait pu supposer en troisième approximation la Terre en forme d’ellipsoïde de révolution (en gros un ballon de rugby) voire en une forme plus complexe encore. Cela dit, le peu de différence entre les deux modélisations montre que ce n’est pas la peine de chercher plus compliqué.
De toutes façons, il n’y a pas d’ours en Antarctique.