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Je viens de lire dans le numéro 17 de la revue PLOT, un article sur les sommes de carrés.
32 + 42 = 52.
102 + 112 + 122 = 132 + 142.
On remarque que le nombre de termes augmente de un en un. On va chercher à trouver tous les cas possibles.
Nommons k le nombre de termes de la somme de gauche, et n+1 le premier terme, le dernier terme de la somme de gauche sera n+k. Le premier terme de la somme de droite sera n+k+1 et le dernier sera n+2k−1 car il y a un terme de moins à droite qu’à gauche. On va trouver n en fonction de k.
On veut que la somme des k carrés de gauche soit égale à la somme des k−1 carrés de droite.
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Vu la forme des coefficients du polynôme du second degré en n, leur somme vaut 2k2−4k et leur produit vaut −2k3+3k2, autrement dit n=−k (impossible) ou n=2k2−3k.
En fait, le premier terme de la somme des carrés vaut n+1 donc 2k2−3k+1=(k−1)(2k−1).
Nombre de termes à gauche | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
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Premier terme | 3 | 10 | 21 | 36 | 55 | 78 | 105 | 136 |
On observe qu’on obtient un terme sur deux de la série des entiers, c’est normal car .
212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272.
362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442.
Ici, on va regarder ce qui se passe si on ajoute des entiers successifs avec la même contrainte que ci-dessus, mais sans puissance (ou plutôt avec la puissance 1).
On reprend les mêmes calculs que ci-dessus, mais sans les carrés.
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Or le premier terme est encore n+1, donc (k−1)2.
Nombre de termes à gauche | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
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Premier terme | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 |
1 + 2 = 3.
4 + 5 + 6 = 7 + 8.
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15
Ho, la dernière somme vaut 42.