Page sur la continuité de la dérivée

On pourrait penser que la dérivation d’une fonction continue partout rend la dérivée aussi continue. Il n’en est rien.

Il suffit de prendre l’exemple classique de la fonction $\{\begin{array}{c}{\mathrm{ℝ}}^{\ast }\to \mathrm{ℝ}\hfill \\ x\mapsto \mathrm{f}\left(x\right)=x^2\sin \frac{1}{x}\hfill \end{array}$.

Elle est définie, continue et dérivable trivialement sur ${\mathrm{ℝ}}_{+}^{\ast }$ et sur ${\mathrm{ℝ}}_{-}^{\ast }$, elle y est même de classe C^∞.

En revanche, on se doute d’un petit problème en 0, à cause de l’inverse dans le sinus.

Il est clair que la limite de f en 0 vaut 0, puisque le sinus reste borné entre −1 et 1, et que x² tend vers 0 quand x tend vers 0. Prolongeons-la dorénavant en 0, puisque sa limite vaut 0 en 0. En clair, f(0)=0, cherchons si f′(0) existe et si f′ est continue en 0.

Calculons sa dérivée en x≠0 :

$\mathrm{f}\prime (x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$

Le premier terme tend vers 0 si x tend vers 0, mais le deuxième n’a pas de limite si x tend vers 0 car le cosinus oscille constamment entre −1 et 1 au voisinage de 0. Autrement dit, f′ n’a pas de limite en 0.

Calculons sa dérivée en 0 par la formule classique.

$\mathrm{f}\prime (0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{f}(x)-\mathrm{f}(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(x\sin \frac{1}{x}\right)=0$

f′ est ainsi définie sur ℝ tout entier, mais n’est pas continue. Même si la dérivée n’est pas continue en 0, elle y est quand même définie et y vaut 0.

Voici le graphique de f avec les deux paraboles au-dessus et en-dessous, puis une vue d’ensemble avec sa dérivée, plus le fichier kmplot :

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