Page sur les contre exemples

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Cette page essaie de dresser une liste de contre exemples de théorèmes faux et d’erreurs, soit parce que l’erreur est faite classiquement par les élèves et les étudiants (dont moi) ou par un grand mathématicien, soit parce que le théorème direct est vrai mais pas le théorème réciproque (ou un théorème faux qui lui ressemble fort).

Je préciserai bien sûr où est l’erreur, quelle condition d’application du théorème manque.

• Mathématiques élémentaires
• • 3,14 < 3,8,
  • Les preuves par 9 et par 10 peuvent être vérifées sans que le résultat soit exact,
  • Tous les angles alternes-internes ne sont pas forcément égaux,
  • Un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires n’est pas nécessairement un losange,
  • Les polygones peuvent être croisés,
  • Distinction entre théorème direct, réciproque, contraposé,
  • Tous les triangles ne vérifient pas l’égalité de Pythagore,
  • L’égalité de Thalès ne garantit pas le parallélisme,
  • Faux cas d’égalités de triangles,
  • $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ne \frac{a+c}{b+d}$, $a+\frac{b}{c}\ne \frac{a+b}{c}$ et $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}$,
  • La règle des signes d’Hervé Bazin ne s’applique qu’à la multiplication et la division,
  • Un nombre qui « change de côté » dans une égalité ne change pas toujours de signe,
  • Des nombres peuvent être premiers entre eux dans leur ensemble sans être premiers entre eux deux à deux,
  • ${\left(a+b\right)}^2\ne a^2+b^2$,
  • $a<b\nrightarrow ac<bc$ et quelques variantes avec d’autres fonctions décroissantes,
• Algèbre
• • $\sqrt{-2}\times \sqrt{-3}\ne \sqrt{-2\times -3}$,
  • La réciproque du petit théorème de Fermat est fausse,
  • Un polynôme de degré n peut avoir plus de n racines,
  • Un anneau principal peut ne pas être euclidien,
  • Confusion entre élément premier et irréductible,
  • Un polynôme peut être nul partout sans être le polynôme nul,
  • La dérivée d’un polynôme peut être nulle sans que le polynôme ne soit constant,
  • Une racine a d’ordre n d’un polynôme P n’implique pas que P⁽ⁿ⁾(a)=0,
  • Une matrice symétrique n’est pas nécessairement diagonalisable,
  • Confusion entre équipotence et isomorphie d’ensembles quotients ou produits $\frac{F}{G}\times G\ncong F$,
  • La réunion de sous-groupes n’est pas nécessairement un sous-groupe (idem pour les sous-espaces vectoriels),
  • Pour des sous-espaces supplémentaires, ne pas étendre naïvement le critère pour plus de deux,
  • La relation de distinction des sous-groupes n’est pas transitive,
  • Calculs faux sur les matrices (exponentielle et division),
  • Il existe des modules non-libres,
  • Un sous-module n’a pas nécessairement de supplémentaire,
  • dim(E) ≠ rang(f) + dim Ker(f),
  • Une base duale n’est pas nécessairement génératrice de l’espace dual,
  • Formules fausses sur les orthogonaux et orthogonaux d’orthogonaux,
  • Changement de bases,
  • Une extension de corps peut être algébrique sans être finie,
  • Un corps fini ne peut pas avoir n’importe quel cardinal,
• Topologie
• • Les images par une fonction continue d’un ouvert ou d’un fermé ne sont pas nécessairement ouverts ou fermés.
  • Un compact n’est pas forcément que fermé,
  • Deux compacts connexes de ℝⁿ ne sont pas forcément homéomorphes,
  • Si A et B sont des ensembles dans un espace métrique, $d\left(A,B\right)=0\nrightarrow A\cap B\ne \mathrm{\varnothing }$,
  • La connexité n’implique pas la connexité par arcs,
  • La boule unité fermée n’est pas nécessairement compacte,
  • B≠B^◦⊥,
  • $B_f\left(ar\right)\not\subset \overline{B\left(ar\right)}$,
  • Fr(Fr(A)) ≠ Fr(A),
• Analyse
• • Une fonction n’est pas forcément continue partout,
  • Une fonction continue partout n’est pas forcément dérivable,
  • Une fonction continue et dérivable partout n’a pas nécessairement une dérivée continue,
  • Une fonction dérivée n’est pas forcément intégrable,
  • La limite d’une suite de fonctions continues n’est pas nécessairement continue,
  • Relations entre f, f^-1, fonction injective, surjective et égalité ou inclusion des images directes ou réciproques d’ensembles,
  • La continuité des fonctions partielles n’implique pas la continuité,
  • Différence entre développement limité et fonction,
  • L’égalité de deux fonctions dans L² n’implique pas nécessairement l’égalité tout court,
  • Théorème des accroissements finis dans ℝⁿ,
  • Calculs faux sur les développements limités,
  • Calculs faux sur les permutations entre limite et dérivation,
  • Calculs faux sur les permutations entre limite et intégration,
  • Calculs faux sur les permutations entre intégrale et sup,
  • Calculs faux sur les permutations entre intégrale et dérivation,
  • Calculs faux sur les permutations de termes de séries divergentes,
  • Il existe des sous-ensembles de ℝ non Borel-mesurables,
  • Le théorème de Stone-Weierstrass de ℝ est faux dans ℂ,
  • Les solutions d’une équation différentielle linéaire d’ordre n ne sont pas nécéssairement un espace vectoriel de dimension n.
• Statistiques
• • Des événements indépendants deux à deux ne sont pas nécessairement indépendants mutuellement,
  • Une union d’événements négligeables n’est pas forcément négligeable,
  • Une propriété presque sûre n’est pas nécessairement fausse sur un événement négligeable,
  • $\forall t\text{, presque sûrement }{X}_t=Y_t\nrightarrow \text{ presque sûrement }\forall t\text{,}{X}_t=Y_t$,
  • Une variable aléatoire n’admet pas nécessairement une densité,
  • Une variable aléatoire n’admet pas nécessairement une espérance,
  • Deux fonctions de deux variables aléatoires indépendantes ne donne pas forcément deux variables aléatoires indépendantes,
  • Deux variables aléatoires peuvent être décorrélées et non indépendantes,
  • Une suite de variables aléatoires peut converger en probabilités sans converger dans L^p,
  • Une suite de lois peut converger en probabilités sans converger presque sûrement,
  • La convergence vague n’implique pas la convergence faible, qui n’implique pas la convergence étroite,
  • Il ne suffit pas de connaître les lois de X et de Y pour connaître celle de X+Y,
  • Dans le test du χ², confusion entre les risques de première espèce et de deuxième espèce.

Pour le moment j’établis une liste que je compléterai, puis chaque contre exemple aura sa page individuelle.

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