Page sur les fractions

Il est courant de voir des élève calculer n’importe comment avec des fractions, en pensant (comme pour les nombres décimaux), qu’il ne s’agit que de deux nombres juxtaposés. Malheureusement pour eux, la réalité est plus compliquée.

Addition de fractions

En effet, $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ne \frac{a+c}{b+d}$, sinon on aurait par exemple $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Or $\frac{2}{3}<1$ alors que $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}>1$. Il faut avouer que c’est gênant.

En fait, pour additionner des fractions (ou les soustraire), il faut d’abord les transformer de manière à ce qu’elles aient le même dénominateur. Pour s’en rappeler, il faut se souvenir d’exemples faciles, triviaux comme :

$\frac{3}{10}+\frac{5}{100}=\frac{30}{100}+\frac{5}{100}=\frac{35}{100}$, autrement dit, 0,3+0,05=0,30+0,05=0,35.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$, autrement dit, 0,5+0,75=1,25.

Cela revient à une conversion d’unités. C’est comme si on convertissait des dixièmes en centièmes, de la même manière qu’on convertit des décimètres en centimètres. On fait la même chose quand on additionne des fractions. D’ailleurs, on peut lire les fractions comme des unités, 1 demi plus 3 quarts comme 1 demi plus 3 galopins.

Cela est vrai même dans des cas plus compliqués (et heureusement) :

$\frac{7}{8}+\frac{6}{5}=\frac{35}{40}+\frac{48}{40}=\frac{83}{40}$ (8×5=40) ou $\frac{5}{12}+\frac{11}{21}=\frac{35}{84}+\frac{44}{84}=\frac{79}{84}$ (12×7=84 et 21×4=84).

Ce qui donne dans le cas général :

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\times d}{b\times d}+\frac{c\times b}{d\times b}=\frac{a\times d+c\times b}{d\times b}$

Addition fraction + entier

Encore une fois, on a $a+\frac{b}{c}\ne \frac{a+b}{c}$, car sinon $7+\frac{5}{14}=\frac{12}{14}$. Or $7+\frac{5}{14}>1$ alors que $\frac{12}{14}<1$. C’est encore très gênant.

Dans ce cas, il faut simplement écrire le nombre entier sous la forme d’une fraction triviale :

$5+\frac{4}{7}=\frac{5}{1}+\frac{4}{7}=\frac{35}{7}+\frac{4}{7}=\frac{39}{7}$ (hé oui, 5=5÷1).

Ce qui donne dans le cas général :

$a+\frac{b}{c}=\frac{a\times c}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a\times c+b}{c}$

Multiplication de fractions

Une fois les élèves bien habitués à additionner des fractions, ils se plantent sur les multiplications, pourtant sans piège. Ici il ne faut rien mettre au même dénominateur, c’est inutile.

$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$

Pour comprendre cette règle de calcul, il faut repenser à ce qui a été déjà écrit sur les unités. Ainsi 5 dixièmes est $5\times \frac{1}{10}=\frac{5}{10}$. De même, $6\times \frac{2}{10}=\frac{6\times 2}{10}=\frac{12}{10}$.

En particulier, $a\times \frac{b}{c}=\frac{a\times b}{c}$, il suffit d’appliquer le cas précédent dans le cas où la première fraction s’écrit $\frac{a}{1}$.

De même, on peut écrire que $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=a\times \frac{1}{b}\times c\times \frac{1}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$ puisque $\frac{a}{b}=a\times \frac{1}{b}$.

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