Les élèves de fin de collège et de lycée se plantent souvent en croyant à tort que tout est linéaire, en d’autres mots que la manière de fonctionner de la distributivité est valide partout ailleurs. Par exemple, ils écrivent que (a + b)2 = a2 + b2. Un contre exemple évident est (1 + 1)2 ≠ 12 + 12 (2×2 vaut 4 et non 2).
Il faut revenir à ce qu’est un carré et donc la distributivité.
(a + b)×(c + d) = a×(c + d) + b×(c + d) = (a + b)×c + (a + b)×d = a×c + a×d + b×c + b×d
En abrégé : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Et comme (a + b)2 = (a + b)(a + b), il suffit de remplacer c par a et d par b dans l’expression ci-dessus pour obtenir que (a + b)2 = aa + ab + ba + bb = a2 + 2ab + b2.
Par exemple : 82 = (5 + 3)2 = 52 + 2×5×3 + 32 = 25 + 30 + 9 = 64. Et cela ne fait pas 52 + 32 = 25 + 9 = 34.
Autre exemple : 142 = (10 + 4)2 = 102 + 2×10×4 + 42 = 100 + 80 + 16 = 196.
Dans certains cas, on peut avoir (a + b)n = an + bn.
Ainsi, si n est un nombre premier, dans , on a selon la formule du binôme, avec a et b deux éléments du corps :
Or, si n est premier, est divisible par n, donc dans , la somme vaut zéro.
En d’autres mots, (a + b)n = an + bn.