Page sur les permutations fausses entre intégrale et sup

La proposition 5.2.6.iv

En lisant le chapitre sur l’intégration du tome 1 du Cours d’analyse de Chatterji, je suis tombé page 239 sur la proposition 5.2.6.iv que je pensais fausse.

Si pour tout n entier naturel non nul, f_n est une fonction mesurable à valeurs positives (éventuellement infinie), si $f=\underset{n}{\sup }{f}_n$, alors $\underset{n}{\sup }\int f_n⩽\int f⩽\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\int f_n$.

En fait, on peut trouver des fonctions peu complexes pour lequelles les inégalités sont strictes.

Prenons par exemple pour f_n la bosse glissante valant 1 sur l’intervalle [n;n+1] et 0 ailleurs. Il est clair que son intégrale vaut 1, et que le sup des intégrales vaut aussi 1. En revanche, le sup des f_n est la fonction qui vaut 0 sur ]−∞;1[ et 1 sur [1;+∞[, d’intégrale valant +∞, qui est aussi la somme des intégrales des f_n.

Si on veut une somme d’intégrales qui ne vaut pas +∞, on peut choisir que la hauteur de la bosse de f_n vaut $\frac{1}{n^2}$. L’intégrale de f_n vaut la même chose, et le sup vaut 1. Quant à l’intégrale du sup, elle vaut $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{6}>1$ comme chacun sait.

Et si vous voulez que la deuxième inégalité soit aussi stricte, faites mordre les bosses les unes sur les autres.

Le lemme de Fatou

Il s’agit de la proposition 5.2.6.vi de la page suivante, et il est très facile à retenir si on se souvient de la bosse glissante.

Si pour tout n entier naturel, f_n est une fonction à valeurs positives (éventuellement infinie), alors $\int \underset{n}{\mathrm{liminf}}{f}_n⩽\underset{n}{\mathrm{liminf}}\int f_n$.

Il n’y a pas nécéssairement égalité car la bosse glissante a pour liminf la fonction nulle, d’intégrale nulle, alors que l’intégrale de la bosse vaut 1, de liminf 1. C’est bien plus facile à retenir qu’un moyen mnémotechnique.

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