Les preuves par 9 et par 10, comme toute méthode de vérification par une somme de contrôle, ne permet pas d’être certain du résultat. Néanmoins, elles peuvent servir à tester et trouver quelques erreurs.
La preuve par 10 d’un calcul impliquant des additions, des soustractions et des multiplications (le cas des divisions est plus problématique), consiste en la vérification de ce calcul uniquement en s’intéressant au dernier chiffre.
Ainsi, pour vérifier que 238×57≠13567, il suffit de savoir que 8×7=56 alors que le résultat proposé se termine par 7 au lieu de 6.
La preuve par 9 d’un calcul impliquant les mêmes opérations consiste en la vérification de ce calcul avec la somme des chiffres de chaque nombre, de manière à n’obtenir que des nombres à un chiffre.
Ainsi, pour vérifier que 238×57≠13567, on calcule 2+3+8=13 et 1+3=4, ensuite 5+7=12 et 1+2=3, la somme de contrôle du calcul vaut 4×3=12, 1+2=3. Celle du résultat vaut 1+3+5+6+7=22 et 2+2=4, or 3≠4 donc le résultat est faux ; ce qu’on savait déjà.
La preuve par 9 permet, en cas d’erreur faible, de détecter une ou deux erreurs de retenue, mais pas de dire où.
En effet :
Si la preuve par 9 d’un calcul est fausse alors le calcul est faux.
Ce théorème est la contraposée du suivant :
Si un calcul est vrai alors sa preuve par 9 est vraie.
On a bien entendu la même chose pour la preuve par 10.
Les théorèmes réciproques sont faux comme le montre cet exemple :
238×57≟13656. Nous avons déjà calculé que la preuve par 10 donne 6 pour le calcul et 6 pour le résultat, la preuve par 9 donne 3 pour le calcul et 1+3+6+5+6=21 soit 2+1=3 pour le résultat. Les deux preuves sont exactes, mais le vrai résultat est 13566. En fait j’ai ajouté 90.
En fait, la preuve par 10 ne sert pas à grand-chose puisqu’on la fait instinctivement et elle ne vérifie pas grand-chose non plus, juste le dernier chiffre. Cela dit elle peut avoir son utilité quand il s’agit de vérifier un calcul impliquant des nombres décimaux (je pense aux erreurs de placement de la virgule).
Si on veut des codes de vérification des erreurs, et qui les corrigent, il faut faire des études plus poussées en algorithmique.