Page sur les sous-groupes distingués

La relation de distinction des sous-groupes d’un groupe n’est pas transitive comme la relation d’ordre sur ℝ. Nous allons prendre comme exemple le groupe diédral D₄ à 8 éléments, le groupe des isométries qui conservent globalement le carré.

Un sous-groupe H est distingué dans G s’il est stable par tout automorphisme intérieur, autrement dit si pour tout h de H et tout g de G, on a g∘h∘g⁻¹ dans H, autrement dit H∘G=G∘H. On le note H ⊲ G.

Le groupe D₄

Remarquons tout d’abord que D₄ est un sous-groupe de ${𝔖}_4$, le groupe des permutations d’ordre 4, à 4!=24 éléments. Pour un carré ABCD, nommons r la rotation qui envoie A en D, etc., s₁ échange A et C, s₂ échange B et D, s₃ échange A et B, C et D et s₄ échange A et D, B et C.

Ce qu’on peut résumer en utilisant ainsi les notations des permutations :

Id	()
r	(BCDA)
r2	(CDAB)
r3	(DABC)
s1	(AC)
s2	(BD)
s3	(AB)(CD)
s4	(AD)(BC)

En effet, r envoie A à la place de D, donc on met A à la place de D. Les autres permutations ne conservent pas les distances, par exemple (AB) transforme la longueur AD en $\mathrm{BD}=\mathrm{AD}\sqrt{2}$.

Table de D₄

Il suffit de regarder le carré pour compléter. On applique de bas en haut. Par exemple, appliquer r puis s₁ donne s₄, ce qu’on note s₁∘r=s₄ (hé oui, à l’envers).

∘	Id	r	r2	r3	s1	s2	s3	s4
Id	Id	r	r2	r3	s1	s2	s3	s4
r	r	r2	r3	Id	s4	s3	s1	s2
r2	r2	r3	Id	r	s2	s1	s4	s3
r3	r3	Id	r	r2	s3	s4	s2	s1
s1	s1	s3	s2	s4	Id	r2	r	r3
s2	s2	s4	s1	s3	r2	Id	r3	r
s3	s3	s2	s4	s1	r3	r	Id	r2
s4	s4	s1	s3	s2	r	r3	r2	Id

Sous-groupes distingués

Avec des rotations

On observe que $H_1=\{\mathrm{Id},\mathrm{r},{\mathrm{r}}^2,{\mathrm{r}}^3\}$ est un sous-groupe de D₄, comme $H_2=\{\mathrm{Id},{\mathrm{r}}^2\}$.

Comme toute rotation est décomposable en un produit de deux symétries, et réciproquement, tout produit de deux symétries est une rotation, s⁻¹∘r∘s sera le produit de quatre symétries donc de deux rotations, donc c’est une rotation. Donc H₁ est distingué dans D₄. H₁ est isomorphe à $\frac{\mathrm{\mathbb{Z}}}{4\mathrm{\mathbb{Z}}}$, les deux sont commutatifs donc tout sous-groupe est distingué, en particulier H₂, dans H₁ attention.

Vérifions si H₂ est distingué dans D₄. On a s₁∘r²∘s₁=s₁∘s₂∘s₁∘s₁=s₁∘s₂=r². Perdu, d’autant plus qu’il suffit de regarder la table pour constater que le centre de D₄ est H₂, donc qu’il est distingué dans D₄.

Avec des symétries

Essayons alors $H_3=\{\mathrm{Id},{\mathrm{r}}^2,{\mathrm{s}}_3,{\mathrm{s}}_4\}$ et $H_4=\{\mathrm{Id},{\mathrm{s}}_3\}$.

Montrons que quel que soit s dans H₃, quel que soit t dans D₄, t∘s∘t⁻¹ est dans H₃. Nous ne considérons que les cas où t n’est pas dans H₃, sinon c’est trivial.

• Si s est une rotation, c’est évident car les deux rotations de H₃ commutent avec tout élément de D₄.
• Si s est une des deux symétries, disons s₃, alors :
• Si t est une rotation, disons r, alors t∘s∘t⁻¹=r∘s₃∘r³=s₂∘r³=s₄∈H₃.
• Si t est une symétrie, disons s₁, t∘s∘t⁻¹=s₁∘s₃∘s₁=r³∘s₁=s₄∈H₃.

Donc dans tous les cas, t∘s∘t⁻¹ est dans H₃.

Il y a plus simple : H₃ (d’ordre 4) est distingué dans D₄ (d’ordre 8) puisqu’un sous-groupe d’ordre p dans un groupe d’ordre 2p est nécessairement distingué. C’est facile à démontrer.

H₃ est le groupe de Klein, isomorphe à ${\left(\frac{\mathrm{\mathbb{Z}}}{2\mathrm{\mathbb{Z}}}\right)}^2$ et commutatif. Donc H₄ est distingué dans H₃.

En revanche, H₄ n’est pas distingué dans D₄ puisqu’on vient de voir que s₁∘s₃∘s₁=s₄∉H₄.

Notons que $H_5=\{\mathrm{Id},{\mathrm{r}}^2,{\mathrm{s}}_1,{\mathrm{s}}_2\}$ et $H_6=\{\mathrm{Id},{\mathrm{s}}_1\}$ font aussi l’affaire.

Merci à Alain Debreil.

Conclusion : H ⊲ H′ ⊲ G ↛ H ⊲ G

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