Page sur les événements indépendants

Il peut être tentant de confondre indépendance deux à deux et indépendence mutuelle.

Rappels

Deux événements A et B sont dits indépendants si $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right)$.

Soit maintenant une suite de n événements ${\left(A_i\right)}_{i\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_n}$.

Ils sont dits indépendants deux à deux si ∀ i≠j ∈ ℕ_n, A_i et A_j sont indépendants.

Ils sont dits mutuellement indépendants si $\forall k\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_n\text{,}\forall i_1<i_2<\text{…}<i_k\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_n\text{,}P\left(\bigcap _{j\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_k}{A}_{i_j}\right)=\prod _{j\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_k}P\left(A_{i_j}\right)$.

Un contre exemple

On jette deux fois de suite une pièce équilibrée.

On nomme A l’événement « obtenir pile au premier jet », B « obtenir pile au deuxième jet » et C « obtenir deux jets différents ».

L’ensemble des évéments est $\Omega =\{\text{PP};\text{PF};\text{FP};\text{FF}\}$ et l’algèbre des parties de Ω est $𝒜=P\left(\Omega \right)$.

On a $P\left(A\right)=P\left(B\right)=P\left(C\right)=\frac{1}{2}$.

$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\cap C\right)=P\left(C\cap A\right)=\frac{1}{4}=P\left(A\right)\times P\left(B\right)=P\left(B\right)\times P\left(C\right)=P\left(C\right)\times P\left(A\right)$ donc les événements sont indépendants deux à deux.

Or $P\left(A\cap B\cap C\right)=0\ne P\left(A\right)\times P\left(B\right)\times P\left(C\right)=\frac{1}{8}$ et ils ne sont pas indépendants mutuellement.

Merci à Thierry Meyre pour ce contre exemple.

Voir aussi la page sur les nombres premiers entre eux.

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